segunda-feira, 27 de junho de 2016

SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA E LÓGICA SIMBÓLICA - PARA A INTRODUÇÃO À FILOSOFIA ANALÍTICA

"Embora os gregos antigos tivessem desenvolvido consideravelmente a lógica formal e Aristóteles (384-322 a.C.) tivesse sistematizado o material resultante, esse trabalho pioneiro foi levado a efeito totalmente com o uso da linguagem corrente. Os matemáticos da atualidade entenderam que seria uma tarefa praticamente inútil, tendo em conta as preocupações modernas, continuar abordando a lógica dessa maneira. A fim de que essa matéria pudesse ser estudada com o caráter científico necessário, era necessário introduzir-se uma linguagem simbólica. A concretização desse intento resultou no que se chama hoje de lógica simbólica ou lógica matemática. Na lógica simbólica representam-se as várias relações entre proposições, classes etc., por fórmulas cujos significados estão livres das ambiguidades tão comuns à linguagem corrente. Torna-se então possível desenvolver a matéria a partir de um conjunto inicial de fórmulas de acordo com certas regras de trans-formação formal claramente prescritas, de maneira muito parecida com o desenvolvimento de algum tópico da álgebra habitual. Ademais, da mesma maneira que no desenvolvimento de um tópico de álgebra, as vantagens da linguagem simbólica sobre a linguagem corrente no que se refere à facilidade de entendimento e brevidade são enormes.

Considera-se que Leibniz tenha sido o primeiro a cogitar seriamente dos benefícios de uma lógica simbólica. Num de seus primeiros trabalhos, De arte combinatória, publicado em 1666, ele manifestou sua crença na possibilidade de uma linguagem científica universal, expressa num simbolismo reduzido e prático que guiaria o processo do raciocínio. Retornando a essas ideias entre os anos 1679 e 1690, Leibniz realizou progressos consideráveis no sentido da criação de uma lógica simbólica, formulando, inclusive, muitos conceitos de grande importância modernamente.

Em 1847, com a publicação de The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning, um pequeno livro de autoria de George Boole (1815-1864), verificou-se um ressurgimento do interesse pela lógica simbólica. Seguiu-o um artigo de 1848 e, finalmente, em, 1854, Boole logrou expor de maneira notável suas ideias no trabalho An Investigation into the Laws of throught, on Which Are Founded the Mathematical of theories of Logic and Probability.

Augustus De Morgan (1806-1871), um contemporâneo de Boole, com seu tratado Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable, publicado em 1847, chegou a ir, em alguns pontos, consideravelmente além de Boole. Mais tarde De Morgan desenvolveu estudos amplos sobre a lógica das relações, até então negligenciada.

Nos Estados Unidos, uma figura que contribuiu com um trabalho relevante para a lógica matemática foi Charles Sanders Peirce (1839-1914), filho do ilustre matemático de Harvard, Benjamin Peirce (1809-1880). Peirce redescobriu alguns dos princípios enunciados por seus predecessores. Infelizmente seu trabalho permaneceu algo à margem da corrente principal das pesquisas nesse campo; assim, só há pouco tempo, relativamente, começou-se a dar o merecimento devido a grande parte de suas ideias.

As noções booleanas receberam um acabamento e uma complementação notáveis no volumoso tratado de Ernst Schröder (1841-1902), Vorlesungen über die Algebra der Logic, publicado no período entre 1890 e 1895. Na verdade, os lógicos modernos se inclinam a designar a lógica simbólica segundo a tradição booleana por álgebra de Boole-Schröder. Ainda se pesquisa muito em álgebra booleana, como o mostram os muitos artigos sobre o assunto publicados atualmente em revistas de matemática.

Uma abordagem ainda mais moderna da lógica simbólica se iniciou no trabalho do lógico alemão Gottlob Frege (1848-1925), no período entre 1879 e 1903, e nas pesquisas de Giuseppe Peano (1858-1932). O que motivava o trabalho de Peano era o desejo de expressar toda a matemática em termos de um cálculo lógico, ao passo que o trabalho de Frege derivava da necessidade de uma fundamentação mais sólida para a matemática. São marcos na obra de Frege: Begriffsschrift, que apareceu em 1879 e Grundgesetze der Arithmetik, em dois volumes (1893 e 1903) e historicamente muito importante; e na obra de Peano vale destacar o Formulaire de Mathématiques, em cinco volumes (escritos com a participação de colaboradores) publicados a partir de 1894. O trabalho iniciado por Frege e Peano levou diretamente aos Principia mathematica de Alfred North Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russell (1872-1970), uma obra monumental e muito influente, em três volumes (1910-1913). A ideia básica dessa obra é a identificação de grande parte da matemática com a lógica pela dedução do sistema dos números naturais e, portanto, do grosso da matemática, a partir de um conjunto de premissas ou postulados da própria lógica. No período entre 1934 e 1939 apareceu o abrangente Grundlagen der Mathematik de David Hilbert (1862-1943) e Paul Bernays (1888-1977). Esse trabalho, baseado numa série de artigos e preleções acadêmicas de Hilbert, tentava construir a matemática mediante o uso da lógica simbólica de uma nova maneira cujo objetivo era tornar possível a determinação da consistência da matemática.

Presentemente há muitos matemáticos empenhados em pesquisas elaboradas no campo da lógica simbólica, principalmente em função do impulso dado a esse campo pelos Principia mathematica. E, para publicar os trabalhos desse grupo, criou-se em 1935 o periódico especializado Journal of Symbolic Logic. "

IN: EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Higyno H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004, pp.669-670.


A obra pode ser consultada nas Bibliotecas das Escolas de Ensino Médio. Na Biblioteca do Olindo Flores tem. Pertence ao acervo de consulta e foi adquirida pelo Ministério da Educação - FNDE - PNBEM 2008.

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